火腿三明治的不均匀分割

设m_1,...,m_n是R^n上的连续概率测度，a_1,...,a_n属于[0,1]。何时存在一个定向超平面H，使得正半空间H^+对所有i属于[n]满足m_i(H^+)=a_i？众所周知，这样的超平面一般不存在。著名的火腿三明治定理指出，如果对所有i有a_i=1/2，那么这样的超平面总是存在。在本文中，我们给出了对于一般的a_i属于[0,1]时H存在的充分判据。设f_1,...,f_n:S^{n-1}->R^n是辅助函数，其性质是：对所有i，法向量为v且包含点f_i(v)的唯一超平面H_i满足m_i(H_i^+)=a_i。我们的主要结果是，如果Im(f_1),...,Im(f_n)有界且可以被超平面分离，那么存在一个超平面H使得对所有i有m_i(H^+)=a_i。这给出了几个推论，例如，如果m_1,...,m_n的支集有界且可以被超平面分离，那么对于a_1,...,a_n在[0,1]中的任意选择，H都存在。我们还得到了可以应用于m_1,...,m_n的支集重叠情形的结果。