带蛋黄酱的火腿三明治：经典火腿三明治定理的一个更强结论
度量几何
2011-09-07 v3 概率论
摘要
Banach和Steinhaus的经典火腿三明治定理的结论可以加强：总是存在一个公共的平分超平面，该超平面与每个集合相切，即与每个集合的闭包相交。因此，如果刀上涂有蛋黄酱，那么总可以切一刀，使得它不仅同时平分每种配料，而且还能将蛋黄酱涂抹到每种配料上。该定理的一个离散类比表明：n维欧几里得空间中的n个有限非空集合总可以被一个单一的、且在每个集合中都至少包含一个点的超平面同时平分。更一般地，对于欧几里得n空间中的n个具有紧支撑的正有限Borel测度，总存在一个超平面，它平分每个测度并与每个测度的支撑集相交。例如，在任意给定时刻，太阳系中有一颗行星、一颗卫星和一颗小行星，存在一个同时与三者相切的平面，该平面恰好平分太阳系的总行星质量、总卫星质量和总小行星质量。
引用
@article{arxiv.0901.2589,
title = {Ham Sandwich with Mayo: A Stronger Conclusion to the Classical Ham Sandwich Theorem},
author = {John H. Elton and Theodore P. Hill},
journal= {arXiv preprint arXiv:0901.2589},
year = {2011}
}
备注
6 pages, no figures, correction added Sept 5 2011