饼干切割刀：具有固定形状的二等分

在质量划分问题中，我们感兴趣的是寻找 $\mathbb{R}^d$ 中光滑测度的公平划分。在本文中，我们研究利用给定集合 $K$ 的缩放副本寻找测度同步二等分的问题。我们区分了允许使用 $K$ 的缩放平移副本的问题与允许使用 $K$ 的缩放等距副本的问题。此前，这些问题仅在 $K$ 为半空间或欧几里得球体时被研究过。对于具有非空内部的星形紧致集合 $K$，我们获得了任意 $d+1$ 个质量同步二等分的正面结果，其中问题的条件取决于 $K$ 边界的光滑度。文中还包含了 $K$ 为特定实例（如超立方体和圆柱体）的额外证明，正面回答了 Sober\'on 和 Takahashi 的一个猜想。证明方法是拓扑的，并涉及新的 Borsuk--Ulam 型定理。