马尔可夫数、Mather的$\beta$函数与稳定范数

V. Fock [7] 引入了一个与马尔可夫数相关的有趣函数 $\psi(x)$，$x \in {\mathbb R}$。我们解释了它与 Federer-Gromov 稳定范数以及 Mather 的 $\beta$ 函数之间的关系，并利用这一点研究其性质。我们通过利用与双曲度量下穿孔或单孔环面上的闭测地线长度的关系，以及 Bangert [3] 和 McShane-Rivin [19] 的结果，证明了 $\psi$ 及其自然推广在每个无理数 $x$ 处可微，否则不可微。