从 KK 理论视角看 LT 等变指标

设 $T$ 为圆群，$LT$ 为其环路群。我们希望从 $KK$ 理论的视角，为 $LT$ 作用的无穷维流形（包括哈密顿 $LT$ 空间）建立指标理论。在之前的论文 \cite{T} 中，我们已经构造了几个对象，包括由“无穷维流形上旋量丛的 $L^2$-截面”构成的 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$，作用于 $\mathcal{H}$ 上的“$LT$-等变 Dirac 算子 $\mathcal{D}$”，“函数代数被 $LT$ 扭曲的交叉积”，以及“$LT$ 的扭曲群 $C^*$-代数”，而无需流形上的测度、$LT$ 上的测度或函数代数本身的测度。然而，我们需要更精细的构造。在本文中，我们从 $KK$ 理论的角度研究指标问题。具体而言，我们关注 Kasparov 定义的装配映射后半部分的无穷维版本。一般而言，对于 $\Gamma$-等变 $K$-同调类 $x$，装配映射定义为 $\mu^\Gamma(x):=[c]\otimes j^\Gamma(x)$，其中 $j^\Gamma$ 是 $KK$ 理论同态，$[c]$ 是来自截断函数的 $K$-理论类，$\otimes$ 表示关于 $\Gamma\ltimes C_0(X)$ 的 Kasparov 积。我们将不定义 $LT$-等变 $K$-同调或截断函数，但对于上述虚拟 $K$-同调类 $x=(\mathcal{H},\mathcal{D})$，我们将直接定义 $KK$-环 $j^{LT}_\tau(x)$ 和 $[c]$。作为结果，我们将得到 $KK$ 理论指标 $\mu^{LT}_\tau(x)\in KK(\mathbb{C},LT\ltimes_\tau \mathbb{C})$。我们还将把 $\mu^{LT}_\tau(x)$ 与将要引入的解析指标 ${\rm ind}_{LT\ltimes_\tau\mathbb{C}}(x)$ 进行比较。