具有 $R/Z$ 系数的双变$K$-理论与酉表示的rho类

我们构造了系数在 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 中的等变 $KK$-理论，作为在 ${\rm II}_1$-因子上的合适归纳极限。我们证明了Kasparov积及其通常的函数性质可扩展到具有实系数的 $KK$-理论。令 $\Gamma$ 为一个群。我们定义 $\Gamma$-代数 $A$ 为 $K$-理论自由且恰当的（KFP），如果 $\Gamma$ 的群迹 ${\bf tr}$ 在 $KK^{\Gamma}_{\mathbb{R}}(A,A)$ 中作为单位元起作用。我们证明了自由且恰当的 $\Gamma$-代数（在Kasparov意义上）具有（KFP）性质。此外，如果 $\Gamma$ 无挠且满足Baum-Connes猜想的 $KK^\Gamma$-形式，则每个 $\Gamma$-代数都满足（KFP）。如果 $\alpha:\Gamma\to U_n$ 是一个酉表示且 $A$ 满足性质（KFP），我们以典范方式构造一个rho类 $\rho_\alpha^A\in KK_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}^{1,\Gamma}(A,A)$。该构造推广了与 $\alpha$ 关联的具有 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 系数的Atiyah-Patodi-Singer $K$-理论类。