基于差矩阵的单边与多边 QC-LDPC 码提升度下界

本文定义了两个称为“差矩阵”的矩阵，记为 $D$ 和 $DD$，它们对获得具有最短长度和特定围长的正则单边 QC-LDPC 码以及正则和非正则多边 QC-LDPC 码有显著贡献。利用这些矩阵，我们得到了具有围长 6、10 和 12 的单边 $(m,n)$-正则 QC-LDPC 码存在的充分必要条件。此外，对于围长 6，我们给出了 $m=4$ 且 $5\leq n\leq 11$ 时具有最小提升度 $N$ 的所有非同构码，并给出了每个最小距离的指数矩阵。对于围长 10，我们提供了比现有界更紧的提升度下界。更重要的是，对于首行和首列全为零的指数矩阵，我们证明了不存在 8-环也意味着不存在与该指数矩阵首行相关的 6-环。我们给出了围长 10 且 $n=5,6$ 的所有非同构 QC-LDPC 码，其数量多于文献中给出的。对于 $n=7,8$，我们将提升度分别从 159 和 219 降低到 145 和 211，分别。对于围长 12，得到了提升度的下界。对于多边类别，首次得到了具有围长 6 的正则和非正则多边 QC-LDPC 码提升度的下界。我们还证明了所得到的多边 $(4,n)$-正则 QC-LDPC 码围长 6 的提升度下界是紧的，并且所得码比单边码中的对应码长度更短。此外，差矩阵有助于将考虑 6-环的条件从七种状态减少到五种状态。我们获得了具有围长 8 且 $n=4,6,8$ 的最短长度多边 $(4,n)$-正则 QC-LDPC 码。