$\mathbb{P}^3$ 中一般直线的 Waldschmidt 常数下界与一类 Chudnovsky 型定理

在 $\PP^N$ 的坐标环中，根理想 $I$ 的 Waldschmidt 常数 $\alphahat(I)$ （渐近地）度量了穿过由 $I$ 在 $\PP^N$ 中定义的集合的超曲面的次数。Nagata 对第 14 个 Hilbert 问题的研究基于计算 $\PP^2$ 中点的集合的此类常数。自那时起，这些常数引起了广泛关注，但除平凡情形外仍无计算方法。因此研究集中于寻找 $\alphahat(I)$ 的精确界。本文处理 $\alphahat(s)$，即 $\PP^3$ 中 $s$ 条非常一般直线的 Waldschmidt 常数。我们证明对所有 $s$ 均有 $\alphahat(s) \geq \lfloor\sqrt{2s-1}\rfloor$，而更强的界 $\alphahat(s) \geq \lfloor\sqrt{2.5 s}\rfloor$ 对所有 $s$ 成立，除了 $s=4$、$7$ 和 $10$。我们还提供了一种算法，给出 $\alphahat(s)$ 更好的界，非常接近已知的上界，而猜想对于足够大的 $s$ 上界等于 $\alphahat(s)$。