二维 Navier-Stokes 方程周期剪切流的长波不稳定性

1959 年，Kolmogorov 提出研究剪切流 $(\sin(y),0)$ 在vanishing viscosity 极限下在环面 $\mathbb{T}_{\alpha}\times \mathbb{T}$ 上的不稳定性。该问题后来由 Meshalkin 和 Sinai 解决。我们将问题推广到一般剪切流 $(U(y),0)$，并证明每种 $U(y)$ 在 $\|\partial_y^{-1} U\|_{L^2} > \nu$ 且 $\alpha\ll \nu$ 时都存在长波不稳定性，其中 $\nu$ 为动力粘度。该不稳定机制确认了 Yudovich 1966 年先前的发现，亦得到若干数值结果的支持，其通过两种独立方法建立：一种通过构造 Kato 同构，另一种通过正规化形式。与许多其他该类方法不同的是，两者都处理线性算子中微妙项的问题，该项在 $\alpha$ 趋于 0 时变得奇异。