半波迹与 Weyl 余项的长时间行为

给定紧黎曼流形 $(M,g)$，Chazarain、Hörmander、Duistermaat 与 Guillemin 研究了半波迹 $\operatorname{HWT}_{M,g}(\tau) \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}_\tau)$。由半波迹当 $\tau\to 0$ 时的渐近性，Hörmander 推导出现在标准的 Weyl 定律中的余项 $\smash{O(\sigma^{d-1}) = O(\lambda^{d/2-1/2})}$，其中 $d=\dim M$。给定一个蕴含额外局部正则性的动力学假设，Duistermaat 与 Guillemin 将其改进为 $o(\sigma^{d-1})$。通过考察论证中的 Tauber 型步骤，我们展示了在稍强假设下如何得到 Duistermaat-Guillemin 结果的定量版本 $$N(\sigma) = Z(\sigma) + O(\sigma^{d-1}\mathcal{R}(\sigma)^{-1/2})$$，这些假设蕴含 $(d-1)$ 重正则化半波迹 $$\langle D_\tau \rangle^{1-d} \operatorname{HWT}_{M,g}(\tau)$$ 属于 $\smash{L^{1,1}_\mathrm{loc}(\mathbb{R}\backslash \{0\})}$。此处 $Z(\sigma)\in \mathbb{R}[\sigma]$ 为一多项式，且 $\mathcal{R}(\sigma):\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ 是一个依赖于 $(M,g)$ 的非减函数，满足 $\lim_{\sigma\to\infty} \mathcal{R}(\sigma)=\infty$，其由 $\langle D_\tau \rangle^{1-d} \tau^{-1}\operatorname{HWT}_{M,g}(\tau)$ 在 $L^{1,1}$ 中测得的增长率所具体给出。据 Duistermaat-Guillemin，该假设由对 $d\geq 3$ “通常”成立的几何条件所蕴含。因此，我们澄清了 Weyl 定律中的误差项与半波迹长时间行为之间的关系。