对数级小 minors 与拓扑 minors

Mader 证明了对于每个整数 $t$，存在一个最小实数 $c(t)$，使得任何平均度至少为 $c(t)$ 的图必然包含一个 $K_t$-minor。Fiorini、Joret、Theis 和 Wood 猜想，任何具有 $n$ 个顶点且平均度至少为 $c(t)+\epsilon$ 的图必然包含一个由至多 $C(\epsilon,t)\log n$ 个顶点组成的 $K_t$-minor。Shapira 和 Sudakov 随后证明了此类图包含一个由至多 $C(\epsilon,t)\log n \log\log n$ 个顶点组成的 $K_t$-minor。本文利用图扩张在他们的方法基础上进一步去除了 $\log\log n$ 因子，从而证明了该猜想。Mader 还证明了对于每个整数 $t$，存在一个最小实数 $s(t)$，使得任何平均度大于 $s(t)$ 的图必然包含一个 $K_t$-拓扑 minor。我们证明了对于充分大的 $t$，平均度至少为 $(1+\epsilon)s(t)$ 的图包含一个由至多 $C(\epsilon,t)\log n$ 个顶点组成的 $K_t$-拓扑 minor。最后，我们表明对于充分大的 $t$，平均度至少为 $(1+\epsilon)c(t)$ 的图要么包含一个由至多 $C(\epsilon,t)$ 个顶点组成的 $K_t$-minor，要么包含一个由至多 $C(\epsilon,t)\log n$ 个顶点组成的 $K_t$-拓扑 minor。