Fisher-KPP 型多孔介质方程中的对数修正

我们考虑具有 Fisher-KPP 型反应项及非负、紧支撑初始函数 $L^\infty(\mathbb{R}^N)\setminus\{0\}$ 的多孔介质方程解的大时间行为：\begin{equation} \label{eq:abstract} \tag{$\star$}u_t=\Delta u^m+u-u^2\quad\text{in }Q:=\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}_+,\qquad u(\cdot,0)=u_0\quad\text{in }\mathbb{R}^N, \end{equation} 其中 $m>1$。众所周知，该问题解 $u(\cdot, t)$ 的空间支撑对所有 $t>0$ 保持有界。在空间维数为一时，已知存在最小波速 $c_*>0$，使得方程容许具有有限波前的波前解 $\Phi_{c_*}$，且其吸引表现为 Heaviside 函数形式的初始函数。在一维情形，我们可对紧支撑初始数据获得类似的稳定性结果。在高维情形，我们证明 $\Phi_{c_*}$ 仍具吸引性，尽管会发生对数偏移。更确切地说，若 \eqref{eq:abstract} 中的初始函数另被假定为径向对称，则存在与维数 $N$ 及初始函数 $u_0$ 均无关的第二个常数 $c^*>0$，使得对某个 $r_0\in\mathbb{R}$（依赖于 $u_0$）有 $$\lim_{t\to\infty}\left\{\sup_{x\in\mathbb R^N}\big|u(x,t)-\Phi_{c_*}(|x|-c_*t+(N-1)c^*\log t-r_0)\big|\right\}=0$$ 若初始函数非径向对称，则存在 $r_1, r_2\in \mathbb{R}$，使得对所有 $t\ge1$，解 $u(\cdot, t)$ 的空间支撑边界包含于球壳 $\{x\in\mathbb R^N: r_1\leq |x|-c_* t+(N-1)c^* \log t\leq r_2\}$ 中。此外，当 $t\to\infty$ 时，$u(x,t)$ 在 $\big\{|x|\leq c_*t-(N-1)c\log t\big\}$ 中对任意 $c>c^*$ 一致收敛于 $1$。