充分线束的局部正性

设 $L$ 为光滑复射影 variety $X$ 上 nef 线束。Demailly 引入了一个有趣的不变式——Seshadri 常数 $\epsilon(L,x)$——其实际上衡量了 $L$ 在给定点 $x \in X$ 附近的正性。例如，Seshadri 的充分性准则可表述为：$L$ 充分当且仅当存在正数 $e>0$，使得 $\epsilon(L,x) > e$ 对所有 $x \in X$ 成立；若 $L$ 非常充分，则 $\epsilon(L,x) \ge 1$ 对每个 $x$ 成立。我们证明了一个略显出人意料的结果：在每个维数 $n$ 中，针对充分线束 $L$ 在 $X$ 非常一般点处，Seshadri 常数存在统一下界。具体而言，$\epsilon(L,x) \ge (1/n)$ 对所有 $x \in X$ 成立，其中 $X$ 超出 countably 个 proper 子variety 的并。Miranda 的例子表明，不能存在一个独立于 $X$ 与 $L$ 的下界，使得该不等式在每个点处都成立。该证明的灵感来自两个来源：首先，用来证明一维 Picard 数的 Fano variety 有界性的论证方法；其次，Faltings 等人在 Diophantine 逼近与 transcendence 理论中涉及的几何思想。我们给出本定理的若干初等应用，以 adjoint 与 pluricanonical 线性系列为例。