MS4-代数簇的局部有限性

Segerberg 和 Maksimova 的一个经典结果是：$\mathsf{S4}$-代数的一个簇是局部有限的当且仅当它具有有限深度。由于逻辑 $\mathsf{MS4}$（单子 $\mathsf{S4}$）对 $\mathsf{QS4}$（谓词 $\mathsf{S4}$）的单变量片段进行了公理化，因此尝试将 Segerberg--Maksimova 定理推广到这一设定是很自然的。我们在这个方向上获得了若干结果。我们的正面结果包括对 $\mathsf{MS4}$-代数的最大半单簇的识别。我们证明了相应的逻辑 $\mathsf{MS4_S}$ 具有有限模型性质。我们表明 $\mathsf{S5}^2$ 和 $\mathsf{S4}_u$ 都是 $\mathsf{MS4_S}$ 的真扩张，并且 Segerberg--Maksimova 定理的直接推广对于包含 $\mathsf{S4}_u$-代数簇的一个簇族成立。我们的负面结果包括将 $\mathsf{S5}_2$-代数簇转化为深度为 2 的 $\mathsf{MS4_S}$-代数簇，这种转化保持并反映局部有限性。这特别表明，刻画 $\mathsf{MS4}$-代数（甚至是 $\mathsf{MS4_S}$-代数）的局部有限簇的问题，至少与刻画 $\mathsf{S5}_2$-代数的局部有限簇的问题一样困难——后者仍然是一个悬而未决的问题。