$A_n$ 奇点的局部 Euler 示性数及其在双曲性中的应用

Wahl 的局部 Euler 示性数度量了一个奇点对层的通常 Euler 示性数的局部贡献。利用环面几何的工具,我们研究了 $A_n$ 型孤立曲面奇点上对称微分层的局部 Euler 示性数。我们证明了余切丛第 $m$ 次对称幂的局部 Euler 示性数的一个显式公式;它是关于 $m$ 的周期为 $n+1$ 的拟多项式。我们还将局部 Euler 示性数的各分量表示为一个非凸多面体中格点的计数,同样表明它是拟多项式。我们将计算结果应用于在 $\mathbb{P}^3$ 中构造低次数的拟双曲代数曲面的新例子。我们证明了由 Labs 构造的具有许多奇点的显式曲面族在次数至少为 $8$ 时不含亏格 $0$ 曲线,在次数至少为 $10$ 时不含亏格 $0$ 或 $1$ 的曲线。