$\ell$-adic 局部系统在 $\mathcal{A}_n$ 上的欧拉特征数

我们研究与 $\mathbf{GSp}_{2n}$ 关联的 principally polarized abelian variety 维数为 $n$ 的模栈 $\mathcal{A}_n$ 上的 $\ell$-adic 局部系统的欧拉特征数，作为绝对 Galois 群与 $\mathbf{GSp}_{2n}$ 的无ramified Hecke 代数中的虚拟表示。为此，我们沿用 Ihara-Langlands-Kottwitz 方法的最后一步，计算 $\mathrm{GSp}_{2n}$ 在 level one 情形下单紧致化的 Siegel 模ular variety 的交叉同调，继承 Kottwitz 与 Morel 的工作，证明了该情形下 Kottwitz 猜想的无条件重述。这涉及证明存在 $\mathrm{GSpin}$ 价值的 Galois 表示，关联 $\mathbf{PGSp}_{2n}$ 与 $\mathbf{SO}_{4n}$ 的 certain level one automorphic 表示。由此我们证明存在 $\mathrm{GSpin}$ 价值的 Galois 表示关联 level one Siegel 特征形成，这是 Deligne（维数一）与 Weissauer（维数二）定理的高维类比。利用 Morel 的工作与 Franke 的谱序列，我们导出显式公式，表达 Siegel 模ular variety 上 automorphic $\ell$-adic 局部系统紧支撑欧拉特征数的公式。化简至维数三与 level one 情形，我们证明了 Bergstr"om、Faber 与 van der Geer 对紧支撑欧拉特征数的显式猜想公式，这涉及 level one Siegel cusp form 关联的 spin Galois 表示。化简至平凡局部系统，我们给出 $\mathcal{A}_n$ 在有限域上的点数公式，覆盖所有 $n \leq 7$。