胞腔簇对称幂的紧支撑 $\mathbb{A}^1$-Euler 示性数

由 Hoyois 引入并随后由 Levine 等人改进的紧支撑 $\mathbb{A}^1$-Euler 示性数，是复拓扑流形经典 Euler 示性数在动机同伦理论中的类似物。它是代数簇 Grothendieck 环 $\mathrm{K}_0(\mathrm{Var}_k)$ 上的一个不变量，取值于基域 $k$ 的 Grothendieck-Witt 环 $\mathrm{GW}(k)$。前一个环具有由簇的对称幂诱导的自然幂结构。在最近的一篇预印本中，Pajwani 和 P\'al 在 $\mathrm{GW}(k)$ 上构造了一个幂结构，并证明了对于 $0$ 维簇，或等价地对于 \'etale $k$-代数，紧支撑 $\mathbb{A}^1$-Euler 示性数保持这两种幂结构。在本文中，我们定义了可对称化簇的类 $\mathrm{Sym}_k$ 为那些紧支撑 $\mathbb{A}^1$-Euler 示性数保持幂结构的簇，并研究了 $\mathrm{K}_0(\mathrm{Sym}_k)$ 的代数性质。我们证明它包含所有胞腔簇，甚至包含由 Totaro 引入的线性簇。此外，我们证明它包含如椭圆曲线等非线性簇。作为我们主要结果的应用，我们计算了 Grassmann 簇和某些 del Pezzo 曲面对称幂的紧支撑 $\mathbb{A}^1$-Euler 示性数。