低次对称幂与分裂环面簇的 $\mathbb{A}^1$-欧拉示性数

对于域 $k$ 上的光滑射影概型 $X$，或者当 $k$ 的特征为零时的任意簇 $X$，我们计算了 $\operatorname{Sym}^2(X)$（若 $\operatorname{char}(k) \ne 2$）和 $\operatorname{Sym}^3(X)$（若 $\operatorname{char}(k) \ne 2,3$）的紧支撑 $\mathbb{A}^1$-欧拉示性数。我们通过将 Pajwani-Pál 首先研究的 $G$-等变二次欧拉示性数的定义推广到任意特征，并研究其与商空间的 $\mathbb{A}^1$-欧拉示性数的关系来实现这一点。作为一个应用，我们证明了对于 $n = 2,3$，$\operatorname{Sym}^n(X)$ 的紧支撑 $\mathbb{A}^1$-欧拉示性数与 Pajwani-Pál 构造的幂结构所预测的结果一致。此外，我们计算了分裂 toric 簇的紧支撑 $\mathbb{A}^1$-欧拉示性数，并证明了其所有对称幂的紧支撑 $\mathbb{A}^1$-欧拉示性数与 Pajwani-Pál 构造的幂结构所预测的结果一致。