Banach 环上的 Liv\v{s}ic 定理

我们证明了取值于 Banach 环的 H"{o}lder 连续上循环的 Liv\v{s}ic 定理。考虑一个满足 Anosov 闭引理的传递同胚 ${\sigma:X\to X}$，以及一个从紧度量空间 $X$ 到某个 Banach 环 $B$ 的可逆元集 $B^\times$ 的 H"{o}lder 连续映射 ${a:X\to B^\times}$。我们证明，当且仅当对每个周期点 $p=\sigma^n p$ 都有 ${a(\sigma^{n-1}p)\ldots a(\sigma p)a(p)=e}$ 时，该映射是一个具有 H"{o}lder 连续转移函数的上边界。