几何晶体的 Littelmann 路径模型、Lie 群上的 Whittaker 函数与 Brown 运动

总体而言，本论文侧重于 Lie 群表示论与概率论之间的相互作用。它主要分为三个部分。在第一部分（主要是代数部分），我们为 Berenstein 和 Kazhdan 意义上的复半单 Lie 群的几何晶体构建了路径模型。我们将主要描述其代数结构、自然同态和参数化。全正性理论将发挥特别重要的作用。然后，我们通过展示几何晶体上的规范测度来预示概率部分。它使用了旗流形的超势和在晶体作用下不变的测度作为要素。权重映射下的像测度起到了 Duistermaat-Heckman 测度的作用。其 Laplace 变换定义了 Whittaker 函数，为所有 Lie 群提供了一个有趣的公式。随后可以清楚地看出，Whittaker 函数对于几何晶体的关系，就如同特征标对于组合晶体的关系。文中还阐述了 Littlewood-Richardson 规则。最后，我们介绍了用于寻找规范测度的概率方法。它基于一个基本思想，即 Wiener 测度将通过路径模型在代数结构上诱导适当的测度。在最后一章，我们展示了我们的几何模型如何退化为连续的经典 Littelmann 路径模型，从而恢复已知结果。例如，最高权几何晶体上的规范测度退化为多面体上的均匀测度，并恢复了连续晶体的参数化。