叶层上 $(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$-调和映射的刘维尔型定理

本文研究具叶层的黎曼流形 $(M,g,\mathcal F)$ 与 $(M',g',\mathcal F')$ 之间的 $(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$-调和映射。一个 $(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$-调和映射 $\phi:(M,g,\mathcal F)\to (M', g',\mathcal F')$ 是横向 $p$-能量泛函 $E_{B,p}$ 的临界点。显然，$(\mathcal F,\mathcal F')_2$-调和映射即为 $(\mathcal F,\mathcal F')$-调和映射，它是 $E_B$ 的临界点。在具叶层的黎曼流形上还有另一种调和映射的定义，称为横向调和映射，它是欧拉–拉格朗日方程 $\tau_b(\phi)=0$ 的解。两种定义并不等价，但如果 $\mathcal F$ 是极小的，则二者等价。首先，我们给出 $(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$-调和映射的一阶与二阶变分公式。接着，我们研究广义 Weitzenböck 型公式以及 $(\mathcal F,\mathcal F')_{p}$-调和映射的刘维尔型定理。