相干系统的线性稳定性及其在 Butler 猜想中的应用

射影空间中簇的线性稳定性概念由 Mumford 在几何不变量理论 (GIT) 背景下引入。随后，Mistretta 等人将其应用于关于一般生成相干系统 $( E, V )$ 的对偶_span_束 (DSB) $M_{V, E}$ 稳定性的 Butler 猜想。我们综述了该方向上关于秩一相干系统的最新进展，证明了关于超椭圆曲线的新结果，并提出了一些开放性问题。随后，我们将线性稳定性的定义扩展到更高秩的生成相干系统。我们表明，Brambila-Paz、Mata-Gutierrez、Newstead 和 Ortega 研究的具有不稳定 DSB 的各种相干系统也是线性不稳定的。我们证明了对于足够小的 $d$，类型为 $(2, d, 4)$ 的线性稳定相干系统具有稳定的 DSB，并利用这一点证明了广义 Butler 猜想的一个特例。接着，我们展示了一个具有不稳定 DSB 的线性稳定生成相干系统，证实了在更高秩情况下，$( E, V )$ 的线性稳定性通常弱于 $M_{V, E}$ 的半稳定性。最后，我们列出了关于高秩情况的一系列开放性问题。