LLT 多项式的线性关系及其在 k=2 时的 k-Schur 正性

LLT 多项式是 Schur 函数乘积的 $q$ 类比，已知由 Grojnowski 和 Haiman 证明为 Schur 正的。然而，Schur 展开中系数的组合公式尚属未知。寻找这样的公式也能给出 Macdonald 多项式的 Schur 正性。另一方面，Haiman 和 Hugland 猜想位于 $k$ 条相邻对角线上的斜分拆的 LLT 多项式是 $k$-Schur 正的，这比 Schur 正性强得多。本文中，我们通过分析单胞 LLT 多项式证明了 $k=2$ 时的猜想。我们首先给出 $k=2$ 时单胞 LLT 多项式的线性性定理。通过分析 LLT 多项式之间的线性关系以及关于矩形 LLT 多项式的已知结果，我们给出了单胞 LLT 多项式以及 Haiman-Hugland 猜想中 $k=2$ 时出现的 LLT 多项式的 $2$-Schur 正性。