矩阵代数上局部保优超关系的线性映射

令 $\M_{n\times n}$ 为所有 $n\times n$ 矩阵构成的代数。对于 $x,y\in {R}^{n}$，若存在一个双随机矩阵 $A\in {M}_{n\times n}$ 使得 $x=Ay$（记为 $x\prec y$），则称 $x$ 被 $y$ 优超。设 $\Phi$ 是从 ${R}^{n}$ 到 ${R}^{n}$ 的线性映射，若只要 $x\prec y$ 就有 $\Phi(x)\prec \Phi(y)$，则称该映射为严格保序的。若对于 $\alpha\in {R}^{n}$，每一个在 $\alpha$ 处严格保序的 $\varphi$（即只要 $x\in {R}^{n}$ 且 $\alpha\prec x$，就有 $\Phi(\alpha)\prec\Phi(y)$；只要 $x\in {R}^{n}$ 且 $x\prec \alpha$，就有 $\Phi(x)\prec\Phi(\alpha)$）都是严格保序的，则称元素 $\alpha\in {R}^{n}$ 为严格全保序点。本文证明，每一个满足 $\alpha_{1}>\alpha_{2}>...>\alpha_{n}$ 的 $\alpha=(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})\in {R}^{n}$ 都是严格全保序点。