高维随机自旋系综的极限行为
概率论
2020-04-10 v4 数学物理
math.MP
摘要
统计物理中的晶格自旋模型被用于理解磁性。其哈密顿量是某版本狄利克雷能量的离散形式，表明其与调和映射热流方程存在关联。由该哈密顿量定义的吉布斯分布被用于 Metropolis-Hastings (M-H) 算法中以生成趋于平衡态的动力学。在逆温度较大的极限情形下，我们建立了离散 M-H 动力学与和该哈密顿量相关的连续调和映射热流之间的关系。我们分两步证明 M-H 动力学收敛到调和映射热流方程：首先，在固定晶格尺寸并适当选取单步 M-H 的提议尺寸时，M-H 动力学起到梯度下降的作用，并将被证明收敛到一组朗之万随机微分方程 (SDE)。其次，在吉布斯分布中适当缩放逆温度并令晶格尺寸趋于无穷时，将证明该 SDE 系统收敛到确定性的调和映射热流方程。我们的结果虽不出意外，但揭示了 M-H 步骤与 SDE 的斯特拉托诺维奇表述之间的显著联系，并表明偏离平衡的轨迹态动力学与具有几何约束的典型 PDE 系统相关。
引用
@article{arxiv.1806.05282,
title = {Limiting Behaviors of High Dimensional Stochastic Spin Ensembles},
author = {Yuan Gao and Kay Kirkpatrick and Jeremy Marzuola and Jonathan Mattingly and Katherine Newhall},
journal= {arXiv preprint arXiv:1806.05282},
year = {2020}
}
备注
38 pages, 4 figures, Acknowledgments Added, small typos fixed