Lifshitz 标度、数论中的微观态计数与黑洞熵

具有各向异性标度不变性的 (1+1) 维非相对论场论通常以色散关系 $E\sim k^{z}$ 和动力学指数 $z>1$ 为特征。这些理论的状态数的渐近增长可由依赖于 $z$ 的 Cardy 公式的推广来描述。我们证明，这一结果可通过将整数分拆为 $z$ 次幂来重新得到，正如 Hardy 和 Ramanujan 一个世纪前所提出的那样。这给出了色散关系的特征能量与圆柱半径及基态能量之间的新关系。对于具有 Lifshitz 标度的自由玻色子，借助黎曼 $\zeta$ 函数的反射性质可证明该关系恒等成立。我们还分析了在 AGT 对应中相关的量子 Benjamin-Ono$_{2}$（BO$_{2}$）可积系统。作为全息实现，我们提供了一组特殊的边界条件，使得 AdS$_3$ 上带有若干 $U(1)$ 场的爱因斯坦引力的约化相空间由 BO$_{2}$ 方程描述。这表明该相空间可按量子 BO$_{2}$ 态进行量子化。事实上，在半经典极限下，BO$_{2}$ 的基态能量与全局 AdS$_{3}$ 的能量一致，且 BTZ 黑洞的 Bekenstein-Hawking 熵可由各向异性推广的 Cardy 公式恢复。