由各向异性衰减引起的 Lifshits 尾：量子-经典区制的出现

我们研究了一大类具有正随机势的Schrödinger算符之积分态密度的Lifshits尾行为。该设定包含合金型与Poisson型随机势。所考虑的(单点)杂质势 $f: \mathbbm{R}^d \to [0, \infty[$ 在无穷远处以各向异性的方式衰减，例如 $f(x_1,x_2)\sim (|x_1|^{\alpha_1}+|x_2|^{\alpha_2})^{-1}$ 当 $|(x_1,x_2)| \to \infty$。正如各向同性情形所预期的，若 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 均足够大，则存在一个Lifshits指数为 $d/2$ 的所谓量子区制；若两者均较小，则存在一个Lifshits指数依赖于 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 的所谓经典区制。除此之外，我们发现了两个新的区制，其中Lifshits指数表现出量子与经典行为的混合。而且，这些区制间的转变线以非平凡的方式同时依赖于 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$。