截断对称泊松代数的李结构

本文自然地延续了关于群环、包络代数及其他相关代数结构恒等关系的一系列工作。设 $L$ 是特征 $p>0$ 的域上的一个李代数。考虑其对称代数 $S(L)=\oplus_{n=0}^\infty U_n/U_{n-1}$，它同构于一个多项式环。它也具有泊松代数结构，其中李积传统上记为 $\{\ ,\ \}$。这个括号自然地在环 $\mathbf{s}(L)=S(L)/(x^p\,|\, x\in L)$ 上诱导出泊松代数结构，我们称之为截断对称泊松代数。我们研究 $\mathbf{s}(L)$ 的李恒等关系。即，我们确定了 $L$ 使得 $\mathbf{s}(L)$ 是李幂零、强李幂零、可解和强可解的充要条件，其中我们假设 $p>2$ 来明确可解性。我们计算了 $\mathbf{s}(L)$ 的强李幂零类。此外，我们证明了在 $p>3$ 的情况下，李幂零类与强李幂零类一致。Shestakov 证明了任意李代数 $L$ 的对称代数 $S(L)$ 满足恒等式 $\{x,\{y,z\}\}\equiv 0$ 当且仅当 $L$ 是阿贝尔的。我们将此结果推广到 $S(L)$ 的（强）李幂零性和（强）可解性。我们展示了在 $\mathrm{char} K=2$ 时 $\mathbf{s}(L)$ 和 $S(L)$ 的可解性与其他特征不同，即我们构造了此类代数的例子，它们是可解的但不是强可解的。我们使用了李代数的 delta-集和泊松代数恒等关系理论。此外，我们研究了泊松代数中的滤链，并证明了关于泊松代数下中心序列各项乘积的结果。