关于 Riemann-Lie 代数与 Riemann-Poisson Lie 群

Riemann-Lie 代数是一个 Lie 代数 $\cal G$，使得其对偶 ${\cal G}^*$ 带有一个 Riemannian 度量，该度量（按作者在 C. R. Acad. Paris, t. 333, S\'{e}rie I, (2001) 763-768 中引入的意义下）与 ${\cal G}^*$ 的典范线性 Poisson 结构相容。Riemann-Lie 代数的概念源于作者对 Riemann-Poisson 流形（见 Preprint math.DG/0206102 将发表于 Differential Geometry and its Applications）的研究。本文中，我们证明：对一个 Lie 群 $G$，其 Lie 代数 $\cal G$ 带有一个 Riemann-Lie 代数结构当且仅当 $G$ 带有一个平坦左不变 Riemannian 度量。我们利用这一刻画构造了大量的 Riemann-Poisson Lie 群（Riemann-Poisson Lie 群是一个 Poisson Lie 群，赋予一个与 Poisson 结构相容的左不变 Riemannian 度量）。