积分曲率条件下坍缩流形的 Li-Yau 梯度估计

设 $(\M^n, g_{ij})$ 为完备黎曼流形。对于某些常数 $p,\ r>0$，定义 $\displaystyle k(p,r)=\sup_{x\in M}r^2\left(\oint_{B(x,r)}|Ric^-|^p dV\right)^{1/p}$，其中 $Ric^-$ 表示 Ricci 曲率张量的负部。我们证明，对于任意 $p>\frac{n}{2}$，当 $k(p,1)$ 足够小时，在 $\M$ 中测地球 $B(O,r)$（其中 $0<r\leq 1$）上的热方程正解成立某种 Li-Yau 型梯度估计。此处 $k(p,1)$ 足够小的假设允许流形处于坍缩状态。回忆在 \cite{ZZ} 中，作者们假设 $|Ric^-|\in L^p(\M)$ 且流形非坍缩，同样获得了某种 Li-Yau 梯度估计。因此，在某种程度上，本文以及 \cite{ZZ} 中的结果在常数的最佳性之外，补全了具有 $|Ric^-|$ 为 $L^p$ 可积的流形上热方程的 Li-Yau 梯度估计的全貌。