非紧流形上热方程的尖锐梯度估计与 Yau 的刘维尔定理
微分几何
2007-05-23 v1 偏微分方程分析
摘要
我们导出了对热方程正解(有界或无界)的椭圆型梯度估计的尖锐局部化版本。这些估计类似于 Cheng-Yau 对拉普拉斯方程的估计以及 Hamilton 对紧流形上热方程有界解的估计。作为应用,在某些增长条件下,我们将 Yau 关于正调和函数的著名刘维尔定理推广到热方程的正永恒解。令人惊讶的是,若无此条件,热方程的该刘维尔定理即使在 中也不成立。我们还证明了非紧流形上热核对数的 sharpened 长时间梯度估计。鉴于紧流形短时间情形的已知估计,这一直是一个 open problem。
引用
@article{arxiv.math/0502079,
title = {Sharp gradient estimate and Yau's Liouville theorem for the heat equation on noncompact manifolds},
author = {Philippe Souplet and Qi S. Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0502079},
year = {2007}
}