Legendrian 子流形路径几何

设 $Z \to Y^{2n+1}$ 为接触流形 $Y$ 上 Legendrian $n$-平面的丛。我们考虑 $Z$ 被 Legendrian 子流形的标准提升所构成的叶状结构，称为 \emph{Legendrian 子流形路径几何}，其平坦模型为 $$Sp(n+1, R) \to RP^{2n+1}.$$ 等价问题给出一个 $sp(n+1, R)$ 值的 Cartan 联络形式，它刻画了此类叶状结构的几何。我们考虑两个特例。第一种情形由在叶状结构 $X$ 的叶子空间上具有良定义的对称 $(n+1)$ 微分的一个共形类来刻画。$X$ 上诱导的 $G$ 结构给出了一个经典的非度量、不可约和乐 $GL(n+1,R)$ 的例子，其在 $sym^2(R^{n+1})$ 上有表示。在第二个例子中，我们考虑接触超平面向量丛上的 \emph{Legendrian} 联络，其 \emph{测地} Legendrian 子流形给出 $Z$ 上所需的叶状结构。存在一个唯一的 \emph{法向辛} 联络与 Legendrian 联络相伴，类似于无挠仿射联络的法向射影联络。作为一个具有对称性的非平坦例子，考虑 $(n+1)$ 维空间形式 $\bar{M}_c^{n+1}$（$c=1, 0,$ 或 -1）中的超曲面 $M^n$，无任何外在对称性。在 Iso($\bar{M}_c^{n+1}$) 作用下运动所得的 $M$ 的像，当被提升时，在 $Gr(n, \bar{M}_c^{n+1})$ 上生成一个 Legendrian 子流形路径几何。