二阶算术子系统下的 Lebesgue 数与 Atsuji 空间
逻辑
2008-11-21 v1
摘要
我们在二阶算术子系统的框架内研究完备可分度量空间的性质。特别地，我们考虑 Lebesgue 空间和 Atsuji 空间。前者是指每个开覆盖 U 都有一个 Lebesgue 数，即一个正数 q，使得对该空间中每个点 x，U 中存在一个元素包含以 x 为中心、半径为 q 的球；后者是指到另一个完备可分度量空间的每个连续函数都是一致连续的。我们得到的主要结果如下：“每个紧空间都是 Lebesgue 的”这一陈述等价于 WKL_0；“每个完备 Lebesgue 空间都是紧的”与“每个完备 Atsuji 空间都是紧的”这两个陈述等价于 ACA_0；“每个 Lebesgue 空间都是 Atsuji 的”可在 RCA_0 中证明；“每个 Atsuji 空间都是 Lebesgue 的”可在 ACA_0 中证明，但我们不知道它是否等价于 ACA_0。我们还证明“到闭集的距离是连续函数”这一陈述等价于 Pi^1_1-CA_0；“存在一个完备、可分度量空间，它是完备且 Heine-Borel 紧的（相应地为 Lebesgue、Atsuji）”这些陈述都等价于 WKL_0。
引用
@article{arxiv.math/9602203,
title = {Lebesgue numbers and Atsuji spaces in subsystems of second order arithmetic},
author = {Mariagnese Giusto and Alberto Marcone},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9602203},
year = {2008}
}