利用可微编程学习湍流的稳定 Galerkin 模型

湍流控制具有众多应用，而构建流的降阶模型（ROM）及相应反馈控制律极具挑战性。尽管构建数据驱动的湍流 ROM 十分复杂，深度神经网络优越的表征能力已在 ROM 学习中展现出可观成功。然而，这些策略通常缺乏物理基础且往往不可解释。相反，基于本征正交分解（POD）的 Galerkin 投影（GP）ROM 方法因其理论一致且可解释的物理解释基础而在诸多问题中广受欢迎。但一个关键局限是，由 GP ROM 导出的常微分方程（ODE）因 POD 模态截断极易失稳，导致时间预测退化。本文提出一种\textit{可微编程}方法，将神经网络显式嵌入 GP ODE 结构以融合两类策略优势，称为神经 Galerkin 投影。我们在中等马赫数下空腔可压缩流的等熵 Navier-Stokes 方程上演示该方法。在给定投影方程结构时，我们表明神经 Galerkin 方法从 POD 系数中隐式学习到稳定的 ODE 系数，并与经标定的经典 POD-GP 相比展现出显著更长且准确的时间范围预测。我们观察到，与纯数据驱动神经网络相比，这种基于可微编程方法的主要优势包括物理基础学习的灵活性增加、计算成本极低，以及可解释性显著提升。