拓扑斯中的Lawvere-Tierney层、因式分解系统、截面与$j$-本质单态射

设$j$为任意拓扑斯$\mathcal{E}$上的Lawvere-Tierney拓扑（简称拓扑），$B$为$\mathcal{E}$的对象，$j_B = j\times 1_B$为切片拓扑斯$\mathcal{E}/B$上的诱导拓扑。在本文中，我们分析了拉回函子$\Pi_B:\mathcal{E}\rightarrow \mathcal{E}/B$的一些与拓扑相关的性质。然后对于拓扑斯$\mathcal{E}$中所有$j$-稠密单态射的左可消去类$\mathcal{M}$，我们得到了$(\mathcal{M} , \mathcal{M}^{\perp})$为$\mathcal{E}$中的因式分解系统的一些充要条件，该系统与切片拓扑斯$\mathcal{E}/B$中的因式分解系统相关，其中$B$取遍$\mathcal{E}$的对象类。除此之外，我们证明$\mathcal{E}$中的箭头$f : X\rightarrow B$是$j_B$-层当且仅当$f$的图是$\mathcal{E}/B$中的截面，且$f$的截面对象$S(f)$是$\mathcal{E}$中的$j$-层。此外，我们引入了$\mathcal{E}$中的一类单态射，称之为$j$-本质的。给出了它们的若干等价形式及一些性质。我们还证明了预设层拓扑斯中的任何预设层都有最大本质扩张。最后，如果我们用某些作者研究的（积性）弱拓扑$j$代替拓扑，讨论了所得结果的若干相似与不同之处。