层叠 Topos 中的代数理论与交换性

对于 Grothendieck topos $\mathcal E$ 的任意定义位点 $\mathcal C$，我们定义了 $\mathcal C$ 元 Lawvere 理论 $\tau: \mathscr C \to \mathscr T$ 的概念，其模型范畴是 $\mathcal E$ 上的栈。当 $\mathcal C=\aleph_0$ 且 $\mathcal E = \operatorname{\mathbf {Set}}$ 时，我们的定义与 Lawvere 的有穷理论一致。我们构造了模型纤维化范畴 $\operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T}$ 作为 $\mathcal E$ 上的栈，并证明它是 $\mathcal E$-完备和 $\mathcal E$-余完备的。我们证明了存在自由-遗忘伴随 $F \dashv U: \operatorname{\mathbf {Mod}}^{\mathscr T} \rightleftarrows \mathcal E$。如果 $\tau$ 在某种意义上是交换理论，则我们在模型范畴上得到一个“局部幺半群闭”结构，从而将自由-遗忘伴随提升为对称幺半群 $\mathcal E$-范畴的伴随。我们的结果给出了构造幺半群 $\mathcal E$-cosmos 的一般方案，在其中可以进行充实 $\mathcal E$-范畴理论。作为应用，我们描述了由 Lebesgue 积分理论生成的线性空间的便利范畴。