$(\infty,1)$- sites 及相关形式结构的概念

我们研究在给定 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 上的高阶 sites 的若干刻画，这些刻画在概念上与其经典常范畴对应物一致，并从中提取出关于 $\infty$-拓扑斯理论的一些新结果。首先，在形式 $(\infty,2)$-范畴理论意义上，我们定义 $\infty$-拓扑斯上的高阶 Lawvere-Tierney 算子的概念，其内化了 Anel、Biedermann、Finster 与 Joyal 的参数化左正合模态，以及 Rijke、Shulman 与 Spitters 的左正合模态。其次，秉持 Lawvere 超 doctrine 的精神，我们将嵌入于 $\mathcal{C}$ 上预层 $\infty$-范畴 $\hat{\mathcal{C}}$ 中的 $\infty$-拓扑斯描述为所谓 $\mathcal{C}$ 上逻辑结构层之理想的层。这自然诱导出 $\mathcal{C}$ 上“几何核”的概念，从所给视角看其扮演高阶 Grothendieck 拓扑的角色。最后，我们研究笛卡尔 $(\infty,1)$-sites 的 $\infty$-范畴。我们将 Lurie 著作中标准 Grothendieck 拓扑的概念适当推广至所有几何核，并在最佳情形下展示相应的“比较引理”。然而，我们表明在 Grothendieck 拓扑语境下相应的拓扑版本引理不成立。