面向元数系统的富代数理论与单子

在极少的假设下，我们一般地发展了对称幺半闭范畴 $\mathcal{V}$ 中关于指定元数系统 $j:\mathcal{J} \hookrightarrow \mathcal{V}$ 的通用代数基本理论。Lawvere 的代数理论概念推广到该情境，产生了单排序 $\mathcal{V}$-富 $\mathcal{J}$-余幂理论（或称 $\mathcal{J}$-理论）的概念。对于 $\mathcal{V}$ 和 $\mathcal{J}$ 的适当选择，此类 $\mathcal{J}$-理论包含 Borceux 和 Day 的富代数理论、Power 的富 Lawvere 理论、Linton 1965 年工作的等式理论，以及 Dubuc 的 $\mathcal{V}$-理论，后者通过取 $\mathcal{J} = \mathcal{V}$ 恢复，并对应于 $\mathcal{V}$ 上任意 $\mathcal{V}$-单子。我们确定了 $j$ 上的一个温和条件，使得对于每个 $\mathcal{J}$-理论 $\mathcal{T}$，$\mathcal{T}$-代数的 $\mathcal{V}$-范畴存在且在 $\mathcal{V}$ 上是单子性的，即使 $\mathcal{T}$ 非小且 $\mathcal{V}$ 既不完全也不余完全。我们表明 $j$ 满足该条件当且仅当 $j$ 将 $\mathcal{V}$ 呈现为 $\mathcal{J}$ 关于沿 $j$ 左 Kan 扩展的权自由余完备化，因此我们称此类元数系统为 eleutheric。我们展示 eleutheric 系统的 $\mathcal{J}$-理论可等价地描述为 (i) $\mathcal{J}$ 上某单对象双范畴中 profunctors 的单子，以及 (ii) 满足某条件的 $\mathcal{V}$ 上 $\mathcal{V}$-单子。我们证明了将 $\mathcal{J}$-理论的代数范畴视为装备了指定 $\mathcal{V}$-函子 $\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{V}$ 的 $\mathcal{V}$-范畴 $\mathcal{A}$ 的刻画定理。