拓扑 enriched 多类方程理论的自由代数

经典多类方程理论及其自由代数在数学与计算机科学中具有基础性地位。本文提出将多类方程理论从经典（$Set$-enriched）语境推广到在对称幺半群范畴$V$中enrichment的语境，其中$V$在$Set$上是拓扑的。此类范畴的显著例子包括：各种拓扑空间与可测空间范畴；无等式的关系Horn理论模型范畴，包括预序集与（扩展）伪度量空间范畴；以及具体站点上的拟空间（又名具体层）范畴，后者近期在编程语言语义研究中引起关注。给定这样的范畴$V$，我们定义$V$-enriched多类方程理论的概念。我们证明每个$V$-enriched多类方程理论$T$具有一个潜在的经典多类方程理论$|T|$，且自由$T$-代数可作为自由$|T|$-代数的适当提升获得。我们建立了自由$T$-代数的显式具体描述，当$V$为笛卡尔闭时这些描述具有方便的归纳特征。我们提供了若干$V$-enriched多类方程理论的例子，并讨论了这些理论与近期作者及Lucyshyn-Wright论文中所研究的$V$-enriched代数理论与单子的表述之间的密切联系。