元数子范畴上富集单子的表示与代数余极限

我们发展了一个通用框架，用于研究元数子范畴上富集单子的签名、表示与代数余极限，即使富集基 $\mathcal{V}$ 不是局部可表示的。当 $\mathcal{V}$ 满足局部有界性这一较弱要求时，所得框架足够通用，可应用于 Lack 与 Rosick\'y 的 $\Phi$-可访问单子以及第一作者的 $\mathcal{J}$-元单子，而即便没有局部有界性，我们的框架也完整一般地抓住了 Lack 与 Kelly 的强有限元单子表示以及 Wolff 的通过生成元与关系对 $\mathcal{V}$-范畴的表示。给定富集范畴 $\mathcal{C}$ 中满足某些假设的任意小元数子范畴 $j : \mathcal{J} \hookrightarrow \mathcal{C}$，我们证明了关于自由 $\mathcal{J}$-元单子存在性、$\mathcal{J}$-元单子对 $\mathcal{J}$-签名的单子性以及 $\mathcal{J}$-元单子代数余极限存在性的结果。我们研究了 $\mathcal{J}$-元单子的一种表示概念，并证明每个此类表示都呈现一个 $\mathcal{J}$-元单子。我们的某些结果推广了 Kelly、Power 与 Lack 在局部有限可表示设定下关于有限元富集单子的早期结果，以及 Kelly 与 Lack 关于笛卡尔闭范畴上强有限元单子的类似结果。我们的主要结果对局部有界富集范畴中广泛的元数子范畴类成立。