高阶范畴神经的多项式构造

我们证明了 Leinster 和 Weber 所构造的、作用于（余）预层范畴上的族表示单子的广义 Lawvere 理论，以及从单子代数到（余）预层的相关联的“神经”函子，在范畴、余函子、族函子与变换的二重范畴 $\mathbb{C}\mathbf{at}^{\#}$ 中具有优雅的范畴论描述。在 $\mathbb{C}\mathbf{at}^{\#}$（亦可由多项式函子范畴中的余单子产生）中，族单子及其作用的（余）预层均可被建模为水平态射；从这一视角看，与单子相关联的理论范畴是利用自同态范畴中的左 Kan 扩张构建的，而神经函子则由 $\mathbb{C}\mathbf{at}^{\#}$ 中水平态射的单次复合来建模。对于图上的自由范畴单子 $path$，这提供了单纯范畴作为 $\Delta := \lens{path}{path \circ path}$ 的新构造。我们还探索了 $\mathbb{C}\mathbf{at}^{\#}$ 的自由 Eilenberg-Moore 完备，在其中诸如 $\mathbf{Cat}$ 上的自由对称幺半范畴单子等构造，可以使用多项式函子的丰富语言进行建模。