格上自由 Banach 格中的格嵌入

在本文中，我们研究由格生成的自由 Banach 格及其关于子空间的行为。一般而言，两个格 $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{M}$ 之间的任意格嵌入 $i\colon \mathbb{L} \longrightarrow \mathbb{M}$ 都会诱导出相应自由 Banach 格之间的 Banach 格同态 $\hat \imath\colon FBL \langle \mathbb{L} \rangle \longrightarrow FBL \langle \mathbb{M}\rangle$。我们证明该映射 $\hat \imath$ 可能既不是等距嵌入也不是同构嵌入。为了提供 $\hat \imath$ 成为等距嵌入的充分条件，我们定义了局部补格的概念，并证明若 $\mathbb L$ 在 $\mathbb M$ 中是局部补的，则 $\hat \imath$ 给出从 $FBL\langle\mathbb L\rangle$ 到 $FBL\langle\mathbb M\rangle$ 的等距格嵌入。我们提供了大量局部补子格的例子，作为应用，我们得出由格生成的每个自由 Banach 格都格同构于一个 AM-空间，或等价地，同构于 $C(K)$-空间的子格。此外，我们证明 $\hat \imath$ 是同构嵌入当且仅当它是单射，这等价于每个格同态 $x^*\colon \mathbb{L} \longrightarrow [-1,1]$ 都能延拓为格同态 $\hat x^*\colon \mathbb{M} \longrightarrow [-1,1]$。利用该刻画，我们提供了一个格 $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{M}$ 的例子，其中 $\hat \imath$ 是同构但非等距嵌入。