布尔子格中的最大连通分量
组合数学
2025-03-18 v2 离散数学
摘要
对于布尔格的一个子族F ⊆ 2^{[n]}，考虑基于其成员间两两包含关系的图G_F。给定一个正整数t，在G_F必须包含某个阶大于t的连通分量之前，F可以有多大？对于t=1，这个问题几乎在一个世纪前由Sperner精确解答：答案是布尔格中间层的大小。对于t=2^n，这个问题是平凡的。我们感兴趣的是在这两个极端之间会发生什么。对于t=2^g，其中g=g(n)是满足当n→∞时g(n)=o(n/log n)的任意整数函数，我们给出了上述问题的渐近精确答案：不比中间层的大小大多少。这构成了Sperner定理的一个非平凡推广。我们通过将其归约为真边染色图中彩虹圈的Turán型问题来做到这一点。在其他结果中，我们还给出了一个精确答案：在G_F必须连通之前，F可以有多大？
引用
@article{arxiv.2411.07985,
title = {Largest component in Boolean sublattices},
author = {Julian Galliano and Ross J. Kang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.07985},
year = {2025}
}
备注
23 pages, 2 figures; v2 includes minor corrections from review; to appear in Acta Mathematica Hungarica