单调布尔网络中不动点与不相交圈的数量

给定有向图 $G$，以 $G$ 为交互图的布尔网络 $f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ 中不动点的最大数量 $\phi(G)$ 已受到大量关注。特别地，网络编码中的一个核心问题在于研究经典上界 $\phi(G)\leq 2^{\tau}$ 的最优性，其中 $\tau$ 是 $G$ 的反馈顶点集的最小大小。本文研究以 $G$ 为交互图的单调布尔网络中不动点的最大数量 $\phi_m(G)$。我们建立了依赖于 $G$ 的圈结构的新上界和下界。除 $\tau$ 外，所涉参数包括顶点不相交圈的最大数量 $\nu$，以及满足某些附加技术条件的顶点不相交圈的最大数量 $\nu^{*}$。我们改进了经典上界 $2^\tau$，证明 $\phi_m(G)$ 至多是 $\{0,1\}^\tau$ 中不含大小为 $\nu+1$ 的链、且不含另一个大小为 $2\nu^{*}$ 的禁戒模式的最大子格。进而，我们证明两个最优下界：$\phi_m(G)\geq \nu+1$ 和 $\phi_m(G)\geq 2^{\nu^{*}}$。作为推论，我们得到如下刻画：$\phi_m(G)=2^\tau$ 当且仅当 $\nu^{*}=\tau$。作为另一推论，我们得到若 $c$ 是 $G$ 的无弦圈的最大长度，则 $2^{\nu/3^c}\leq\phi_m(G)\leq 2^{c\nu}$。最后，利用所引入的技术，我们根据任意布尔网络的有符号交互图建立了其不动点数量的上界。