指数表面扩散流在 $\mathbb{R}$ 上的大时间行为

我们考虑形式为 $V=\partial_s^2f(-\kappa)$ 的表面扩散流，其中 $f$ 为严格递增光滑函数，通常取 $f(r)=e^r$，曲线的弧长参数为 $s$，$\kappa$ 表示曲率，$V$ 表示法向速度。常规的表面扩散流对应 $f(r)=r$ 的情况。我们将该方程用于定义在整个实数域 $\mathbb{R}$ 上函数的图上。我们证明了在第一、二阶导数有界且足够小的条件下，该方程存在唯一的全局时间古典解。进一步地，我们证明了解的行为类似于方程 $V=-f'(0)\kappa$ 的自相似解。我们的结果直接从 Gibbs--Thomson 定律（无需对 $f$ 在 $\kappa=0$ 附近线性化）中获得的对 Mullins (1957) 所建模的凹陷现象解释提供了正当性。