$q$-变形多核生长的Large Deviation

本文研究 ABW22 [arXiv:2108.06018] 中引入的 $q$-变形多核生长的高度函数 $\mathfrak{h}(x,t)$ 的大时间大偏差。我们证明上尾偏差具有速度 $t$，并推导了速率函数 $\Phi_+(\mu)$ 的显式公式。另一方面，我们证明下尾偏差具有速度 $t^2$，并将相应的速率函数 $\Phi_-(\mu)$ 表示为一个变分问题。我们的分析依赖于高度函数 $\mathfrak{h}$ 与整数划分集合上的两个重要测度——泊松化 Plancherel 测度与柱形 Plancherel 测度——之间的分布恒等式。遵循 DT21 [arXiv:1910.09271] 中发展的方案，我们分析 $\mathfrak{h}(x,t)$ 的 $q$-拉普拉斯变换的 Fredholm 行列式表示，从中提取精确的 Lyapunov 指数并通过反演得到上尾速率函数 $\Phi_+$。下尾大偏差原理的证明更为微妙，需要若干结合 Plancherel 测度的经典渐近结果与 Schur 多项式对数凹性性质的新思想。我们为刻画下尾所发展的技巧相当灵活，有潜力推广到其他可解生长模型。