论某些大偏差问题中的重尾现象

在本文中,我们重新审视了 Wiener 混沌的大偏差原理的证明,该证明部分由 Borel 给出,后由 Ledoux 以完整形式给出。我们表明,在大偏差中观察到的一些重尾现象可以用与 Wiener 混沌相同的机制来解释,这意味着偏差在某种意义上是由平移产生的。更确切地说,对于某类泛函 $f_n : \mathbb{R}^n \to \mathcal{X}$,其中 $\mathcal{X}$ 是某个度量空间,在 $n$ 重概率测度 $\nu_{\alpha}^n$ 下,我们证明了一个一般的大偏差原理,其中 $\nu_{\alpha} =Y_{\alpha}^{-1}e^{-|x|^{\alpha}}dx$, $\alpha \in (0,2]$,其大偏差是由平移产生的。作为应用,我们重新得到了已知的无高斯尾的 Wigner 矩阵的大偏差原理,包括 Bordenave 和 Caputo 的经验谱测度、作者的最大特征值与多项式迹。我们还将大偏差结果应用于最后到达时间,当权重在 $\mathbb{R}_+$ 上关于 Lebesgue 测度具有密度 $Z_{\alpha}^{-1} e^{-x^{\alpha}}$ 且 $\alpha \in (0,1)$ 时,得到了一个大偏差原理。