大 2-adic 伽罗瓦像及 Q 上某些阿贝尔曲面的不存在性

受我们的算术应用所驱动，我们需要一些可能具有独立兴趣的工具。设 $\mathcal E$ 为 $\mathbb Z_p$ 上秩为 $p^4$ 的绝对不可约群概形。我们对所有满足 $\mathcal G[p^{n+1}]/\mathcal G[p^n] \simeq \mathcal E$ 的 $p$-可除群 $\mathcal G$ 的 Honda 系统给出了完整描述。然后我们找到了第二层 $\mathbb Q_p(\mathcal G[p^2])/\mathbb Q_p(\mathcal G[p])$ 的阿贝尔导子的一个界，在我们的情形下该界强于从 Fontaine 界所能推导的结果。令 $\pi\!: \, {\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p) \to {\rm Sp}_{2g}(\mathbb F_p)$ 为约化映射，并令 $G$ 为 ${\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p)$ 的闭子群，其约化 $\overline{G} = \pi(G)$ 不可约且由平延生成。我们填补了文献中的一个空白，证明了若 $p=2$ 且 $G$ 包含一个平延，则 $G$ 在具有给定约化 $\overline{G}$ 的 ${\rm Sp}_{2g}(\mathbb Z_p)$ 中尽可能大，即 $G = \pi^{-1}(\overline{G})$。一个简单的应用出现在当 $A = J(C)$ 是超椭圆曲线 $C\!: \, y^2 + Q(x)y = P(x)$ 的雅可比簇时，其中 $Q(x)^2 + 4P(x)$ 在 $\mathbb Z[x]$ 中不可约，次数为 $m=2g+1$ 或 $2g+2$，伽罗瓦群为 $\mathcal S_m \subset {\rm Sp}_{2g}(\mathbb F_2)$。若 $C$ 的 Igusa 判别式 $I_{10}$ 为奇数且某个素数 $q$ 恰好整除 $I_{10}$，则 $G = {\operatorname{Gal}}(\mathbb Q(A[2^\infty])/\mathbb Q)$ 为 $\tilde{\pi}^{-1}(\mathcal S_m)$，其中 $\tilde{\pi}\!: \, {\rm GSp}_{2g}(\mathbb Z_p) \to {\rm Sp}_{2g}(\mathbb F_p)$。当 $m = 5$，$Q(x) = 1$ 且 $I_{10} = N$ 为素数时，$A = J(C)$ 是一个 $\textit{有利}$ 阿贝尔曲面的例子。我们利用上述工具得到了某些有利阿贝尔曲面的不存在性结果，即使对于大的 $N$ 也是如此。