三维球面上的拉普拉斯本征模

三维球面 $S^3$ 上拉普拉斯算子的对应于同一特征值 $lambda_k = -k (k +2)$ 的本征函数向量空间 $V^k$ 的维数为 $(k + 1)^2$。在回顾 $V^k$ 的标准基之后，我们引入了一个新的基 B3，它由涉及零向量的特殊齐次调和多项式在 $S^3$ 上的限制所构造。我们给出了该基与通常的超球面调和函数之间的变换律。借助 $S^3$ 与 SO(4) 的四元数表示，我们能够显式地写出 B3 从而在任意 SO(4) 旋转下的变换性质，进而写出任意本征模的变换性质。这提供了选出 $V^k$ 中在某个选定 SO(4) 旋转下保持不变的函数之可能。当该旋转为球面空间 $S^3/Gamma$ 的完整性变换时，这给出了计算 $S^3/Gamma$ 本征模的方法，而后者一般仍是一个开放问题。我们通过对透镜空间与棱柱空间本征模的（重新）推导来阐明我们的方法。在后续论文中，我们将推导十二面体空间的本征模。