球面上本征模的一组新基

通常的球谐函数 $Y_{\ell m}$ 构成球面上拉普拉斯算符本征函数向量空间 ${\cal V} ^{\ell}$(维数为 $2\ell+1$)的一组基,其本征值为 $\lambda_{\ell} = -\ell ~(\ell +1)$。本文证明了 ${\cal V} ^{\ell}$ 存在另一组不同的基 $\Phi ^{\ell}_j$,其中 $\Phi ^{\ell}_j(X) \equiv (X \cdot N_j)^{\ell}$,即当前点与特定零向量 $N_j$ 的标量积的 $\ell$ 次幂。我们显式给出了两组基之间的变换性质。新基下计算的简洁性便于对调和函数进行简便操作。特别地,我们给出了新基在球的任意等距变换下的变换规则。将通常的调和函数 $Y_{\ell m}$ 展开到新基(以及反展开)可导出 $Y_{\ell m}$ 的新性质。尤其由此得到 $Y_{\ell m}$ 的一个新关系,它是著名积分表示公式的有限版本。这也给出了勒让德多项式与特殊勒让德函数的新的展开公式。